Теория риска

Теория риска представляет собой раздел теории вероятностей, посвященный принятию решений в условиях вероятностной неопределенности. В основе ее лежат понятия риска, меры и цены риска, отношения индивидуума к риску.

На следующем рисунке в упрощенной форме представлена схема принятия решения.

Здесь S — множество состояний среды, D — множество возможных решений, R — множество всевозможных результатов. На результат оказывает влияние как наше решение, так и состояние среды. Таким образом, математическая модель рассматриваемой ситуации есть отображение M:

S x D —> R,

сопоставляющее состоянию среды s и решению d результат r=M(s,d). Состояние среды является, как правило, неопределенным, и описывается в рамках теории риска какой-либо вероятностной моделью: говорят, что на S задано вероятностное распределение. Посредством отображения M оно при каждом решении d из D порождает распределение на R. Таким образом, каждому решению соответствует свое распределение на множестве результатов, и выбор оптимального решения сводится к выбору «наилучшего» распределения на R.

Пример

Рассмотрим следующий простой пример. Пикник можно провести на открытом воздухе в лесу, или дома. На природе, конечно, лучше, но если пойдет дождь, то пикник будет испорчен. В этом примере среда может находиться в одном из двух состояний: «дождь», «сухо». Множество решений также состоит из двух элементов: «лес» и «дом». Пусть распределеление на S задано так: вероятность того, что пойдет дождь, равна 0.3 (и, значит, вероятность сухой прекрасной погоды равна 0.7). Пусть множество результатов состоит из четырех элементов («отвратительно», «плохо», «средненько», «отлично»), а отображение M устроено следующим образом:

M(дождь,лес)=отвратительно,
M(дождь,дом)=плохо,
M(сухо,лес)=отлично,
M(сухо,дом)=средненько.

Если мы выберем решение провести пикник в лесу, то на множестве результатов будет порождено распределение, привенное в следующей таблице:

Значение	отвратительно	плохо	средненько	отлично
Вероятность	0.3	0	0	0.7

Решение же провести пикник дома породит такое распределение:

Значение	отвратительно	плохо	средненько	отлично
Вероятность	0	0.3	0.7	0

Принятие оптимального решения в данном случае означает выбор наилучшего из приведенных выше распределений. Стандартная процедура выбора состоит в приписывании каждому из результатов числового значения, трактуемого как его «полезность», с последующей максимизацией ожидаемой (средней) полезности. Если мы оценим полезность результатов так, как описано в следующей таблице:

Значение	Полезность
отвратительно	0
плохо	2
средненько	5
отлично	10

то получим следующие значения для ожидаемой полезности решений:

u(дом) = 0.3*2 + 0.7*5 = 4.1,
u(лес) = 0.3*0 + 0.7*10 = 7.

В данном случае решение провести пикник в лесу имеет большую ожидаемую полезность, оно и принимается.

Интересно проследить, как изменится решение при изменении информации о возможных состояниях среды. Пусть вероятность дождя равна 0.8 (и, следовательно, вероятность сухой погоды равна 0.2). Тогда вычисление ожидаемых полезностей дает

u(дом) = 0.8*2 + 0.2*5 = 2.6,
u(лес) = 0.8*0 + 0.2*10 = 2,

и оптимальным является уже решение о проведении пикника дома.

В описанной схеме на выбранное решение оказывает влияние не только распределение на множестве состояний среды, но и значения полезности, приписываемые каждому из результатов.

Иллюстрация

На следующем рисунке показаны графики зависимости полезности решений от вероятности дождя.

Здесь лежит книга MSExcel, с помощью которой был получен приведенный график, и в которой Вы можете задать другие значения параметров и просмотреть результаты.