Множественность случайных величин
Хорошо известно, что любая случайная величина порождает на множестве вещественных чисел распределение, которое однозначно описывается функцией распределения. Однако, обратное соответствие неоднозначно: каждой функции распределения соответствует, вообще говоря, много случайных величин, которые обладают данной функцией распределения. На данной странице иллюстрируется указанная множественность случайных величин.
Определения
Напомним определения случайной величины и ее функции распределения. Пусть (Ω,A,P) — вероятностное пространство, то есть, Ω — пространство элементарных событий, A — сигма-алгебра подмножеств Ω, которые считаются в данной модели (неэлементарными) событиями, а P — вероятностная мера на A. Случайной величиной X называется произвольное измеримое отображение из Ω в R. Функцией распределения случайной величины X называется функция FX ( z ) = P ( X ≤ z) вещественной переменной z.
Дискретный пример
Пусть сначала Ω конечно: Ω = { ω 1, ω 2, ω 3 }. При этом вероятностная мера P описывается тройкой неотрицательных чисел ( p1, p2, p3 ) таких, что p1 + p2 + p3 = 1 и
| P (ω 1) = p1, P (ω 2) = p2, P (ω 3) = p3, |
а произвольная случайная величина X задается тройкой вещественных чисел ( x1, x2, x3 ) таких, что
| X (ω 1) = x1, X (ω 2) = x2, X (ω 3) = x3. |
Зададим вероятностную меру посредством P = (1/4, 1/4, 1/2), и рассмотрим две случайные величины X1 = (1, 1, 2) и X2 = (2, 2, 1). Ясно, что обе случайные величины имеют одну и ту же функцию распределения
Непрерывный пример
Пусть теперь Ω = [0,1], A — борелевская сигма-алгебра на [0,1], P — равномерная мера (мера Лебега) на [0,1]. Случайная величина на таком вероятностном пространстве представляет собой измеримую функцию на [0,1] с вещественными значениями. Нетрудно проверить, что случайные величины
| X1 = ω, X2 = 1 — ω, X3 = 1 — |2ω — 1|, |
порождают одно и то же равномерное распределение на отрезке [0,1]. На следующем рисунке приведены графики этих функций (случайных величин).