Функция копулы

Пример

Рассмотрим двумерный случайный вектор (X,Y) с функцией совместного распределения FXY(x,y) и маргинальными функциями распределения

FX ( x ) = FXY ( x , ∞ ), FY ( y ) = FXY ( ∞ , y )

Предположим, что функции FX , FY строго возрастают, и, следовательно, имеют обратные FX-1 , FY-1. Тогда на квадрате [0,1]2 определена функция

C ( u , v ) = FXY ( FX-1 (u), FY-1 (v) )

Легко убедиться в том, что функция C является функцией распределения на квадрате [0,1]2, причем ее маргинальные распределения являются равномерными на отрезках [0,1]:

C ( u , 1 ) = u , C ( 1 , v ) = v

при произвольных u , v из отрезка [0,1]. Более того, функция совместного распределения выражается через C и маргинальные функции распределения:

FXY ( x , y ) = C ( FX ( x ) , FY ( y ) ). (1)

Как показывает теорема Скляра (1959), представление (1) оказывается справедливым и в общей ситуации.

Теорема Скляра

Пусть ( X1 , X2 ,…, Xn ) — случайный вектор с функцией совместного распределения FX1 , X2 ,…, Xn ( x1 , x2 ,…, xn ) и маргинальными функциями распределения FX1 ( x1 ), FX2 ( x2 ),… FXn ( xn ). Тогда найдется функция распределения C на гиперкубе [0,1]n такая, что ее маргинальные распределения являются равномерными на отрезке [0,1], и справедливо представление

FX1,X2,…,Xn ( x1 , x2 ,…, xn ) = С ( FX1 ( x1 ), …, FXn ( xn ) ). (2)

Если функции распределения FXi непрерывны при всех i = 1 , 2 , …, n, то представление (2) единственно.

Копула

Функция C в представлении (2) называется функцией копулы. В структуре функции C сосредоточена вся информация о зависимости компонент случайного вектора ( X1 , X2 ,…, Xn ). В частности, независимому распределению соответствует копула, равная произведению своих аргументов:

С ( u1 , …, un ) = u1 … un , (3)

а случаю максимальной положительной зависимости — верхняя граница Фреше.

Примеры копул

Одним из примеров функции копулы является функция (3), соответствующая независимому распределению компонент. Другие примеры классов функций копулы приводятся ниже.

Нормальная копула. Пусть FX1, X2,…, Xn — функция многомерного нормального распределения с единичными дисперсиями и корреляционной матрицей S. Тогда все маргинальные функции распределения являются стандартными нормальными, обозначим их F, а нормальная копула имеет вид

СS ( u1 , …, un ) = FX1, X2,…, Xn (F -1(u1),…, F -1(un)) (4)

Архимедова копула. Пусть f — выпуклая убывающая вещественная функция, заданная на отрезке (0,1], и принимающая неотрицательные значения, причем f(1) = 0 и f не ограничена в окрестности 0. Тогда функция

С ( u1 , …, un ) = f -1(f(u1) + … + f(un)) (5)

задает архимедову копулу. При f(v) = -ln v получается независимая копула (3), а для других функций f (называемых еще генераторами архимедовых копул) получаются другие содержательные классы, в частности

Наименование Генератор
Копула Гамбеля f(v) = ( — ln v ) a
Копула Кимельдорфа — Сэмпсона f(v) = v -a — 1