Иллюстрации

В этом разделе размещены материалы, появлявшиеся в рубрике Иллюстрация

Метод Монте-Карло: вычисление интеграла

Метод Монте Карло: вычисление интеграла. В данной иллюстрации приводится пример применения метода Монте Карло для вычисления определенного интеграла. В качестве подинтегральной функции выбрана плотность стандартного нормального распределения, отрезок интегрирования: [-1,1]. Точное значение интеграла совпадает с вероятностью попадания нормальной случайной величины в интервал «среднее плюс-минус сигма», и равно 0.68269. Приближенное значение вычисляется как отношение количества точек, попавших под график интегрируемой функции (красные точки) к общему числу выброшенных точек (красные и зеленые). Оценивание интеграла в данной иллюстрации производится по результатам 50 экспериментов, и сильно изменяется от расчета к расчету. В реальных расчетах по методу Монте-Карло используются тысячи и десятки тысяч экспериментов, что обеспечивает существенно меньшую изменчивость результата. Кроме того, для снижения изменчивости оценки Монте-Карло используются специальные приемы, в частности, проиллюстрированные на следующих страницах: уточнение метода Монте-Карло и еще одно уточнение. Подробное изложение теории метода Монте Карло и другие примеры его применения можно найти в соответствующей лекции Метод Монте Карло.

Метод Монте-Карло: уточнение

Метод Монте Карло: вычисление интеграла, уточнение. В предыдущей иллюстрации был приведен пример вычисления методом Монте Карло определенного интеграла от плотности стандартного нормального распределения f на отрезке [-1,1]. Настоящая иллюстрация демонстрирует, как можно повысить точность результата, точнее — уменьшить его изменчивость. Для пояснения рассмотрим следующий рисунок.
В первоначальном варианте оценивалась вся площадь под графиком интергируемой функции, включая площадь прямоугольника, выделенного зеленым цветом. Однако, площадь этого прямоугольника может быть вычислена точно (она равна 2 m, где m = f(1)), и оценивать достаточно площадь голубой фигуры, прибавляя к ней для получения окончательного результата 2 m. Этот метод уточнения и использован в настоящей иллюстрации. Расчет показывает, что изменчивость результата (его стандартное отклонение) уменьшается при этом в 1.85 раза. Дальнейшее уточнение метода Монте-Карло проилюстрировано здесь.

Подробное изложение теории метода Монте Карло и другие примеры его применения можно найти в соответствующей лекции «Метод Монте Карло«.

Метод Монте-Карло: дальнейшее уточнение

Метод Монте Карло: вычисление интеграла, редукция изменчивости. В настоящей иллюстрации описывается метод дальнейшего уменьшения дисперсии оценки интеграла методом Монте Карло. Для этого используется какая-либо аппроксимация g(x) интегрирумой функции f(x), в данном примере — квадратическая функция

g(x) = f(0) — [f(0) — f(1)] x2 .

Вместо исходной (уточненной) оценки интеграла I используется редуцированная оценка

K = I — (L — EL) ,

где L — оценка интеграла от g, а EL — его математическое ожидание, которое легко вычисляется явно. В результате стандартное отклонение редуцированной оценки оказывается в 2.67 раза меньше стандартного отклонения уточненной оценки. Стоит отметить, что вместо указанной аппроксимации g можно использовать и другие аппроксимирующие функции, например, представление интегрируемой функции f формулами Тейлора. При этом можно добиться еще большего снижения изменчивости оценки интеграла.

Подробное изложение теории метода Монте Карло и другие примеры его применения можно найти в соответствующей лекции «Метод Монте Карло«.

Вычисление неприятия риска

Вычисление неприятия риска

В данной иллюстрации приводится способ вычисления неприятия риска в экспоненциальной модели полезности по заданному инвестором детерминированному эквиваленту одного простого распределения.

Предполагается, что функция полезности U является экспоненциальной, то есть, имеет вид

U(x)=(1-exp(- a * x )),

где a — параметр неприятия риска, подлежащий определению.

В качестве тестового выбрано распределение случайной величины X, которая с вероятностями 1/2 принимает одно из значений 0 или 2. Инвестор задает детерминированный эквивалент этого распределения; для инвесторов, не приемлющих риск, ответ лежит строго между 0 и 1 (ответ, меньший либо равный 0, может дать только любитель бесплатного сыра; таковому стоит поискать решение своих проблем не в теории риска, а в ближайшей скобяной лавке, торгующей мышеловками;-) ответ 1 соответствует инвестору, нейтральному по отношению к риску, а ответ, превосходящий 1 — любителю риска). Вопрос инвестору можно поставить и в такой форме: какова максимальная цена, которую инвестор готов уплатить за лотерейный билет, приносящий выигрыш X.

Поскольку детерминированный эквивалент d распределения X по определению обладает свойством U(d)=EU(X), ответ инвестора дает возможность вычислить параметр неприятия риска a из получившегося уравнения.

На рисунке показан график функции полезности для вычисленной степени неприятия риска. Кнопками можно менять значение детерминированного эквивалента в пределах от 0.1 до 0.9.

Отношение эквивалентности

Отношение эквивалентности На иллюстрации показаны примеры отношения эквивалентности на конечном множестве X. Декартово произведение X на себя представлено в виде квадратной матрицы точек, причем точки, входящие в отношение, изображены кругами большего радиуса. Кнопками «вправо» и «влево» можно изменять мощность основного множества X, а кнопкой «Еще» — получать другое случайное отношение эквивалентности на множестве той же мощности. Для удобства восприятия точки основного множества X упорядочиваются таким образом, чтобы элементы одного класса эквивалентности всегда были «соседями» в смысле этого порядка. В результате матрица, изображающая X x X, имеет блочно-диагональный вид. Подробнее с понятием отношения эквивалентности можно ознакомиться по лекции « Отношения«.

Копула двух переменных

Экстремальные копулы двух переменных

На иллюстрации показаны графики максимальной и минимальной копул двух переменных (так называемые границы Фреше), а также промежуточный случай копулы независимых компонент.

Зависимое распределение с нулевой корреляцией

Зависимое распределение с нулевой корреляцией.

Часто встречается следующее заблуждение: если корреляция двух случайных величин X и Y равна 0, то они являются независимыми. Приведенный пример служит опровержением.

Пусть случайные величины X и Z независимы, X обладает равномерным распределением на отрезке [-1,1], а Z — равномерным распределением с нулевым средним EZ = 0 и стандартным отклонением s. Для дальнейшего отметим, что ввиду симметрии распределения X имеем EX = 0 и EX3 = 0. Зададим Y = X2 + Z, и рассмотрим пару случайных величин (X,Y). Они, очевидно, зависимы. Вычисляя их ковариацию CXY, получаем

  • CXY = E(XY) — EX EY = E(XY)
  • = EX(X2 + Z) = EX3 + EZ = 0.

Поэтому корреляция X и Y также равна 0.

Верхней парой кнопок можно изменять значение стандартного отклонения s, а кнопкой «Еще» — воспроизводить случайную картину без изменения параметров распределения.

Средние характеристики распределения

Средние характеристики распределения.

Смещение распределения случайной величины относительно некоторого стандартного расположения характеризуют средними значениями: математическим ожиданием, медианой или модой.

В данной иллюстрации показаны эти средние характеристики для треугольного распределения на отрезке [0,1], обладающего плотностью f(x), равной 2 x / c при 0 <= x <= c и 2 (1 — x) / (1 — c) при c < x <= 1, где c — некоторая точка из отрезка (0,1). Красным цветом отмечена мода распределения, зеленым — математическое ожидание, а синим столбиком показана медиана. Кнопками можно изменять значение параметра c. Видно, что для данного распределения математическое ожидание и медиана различаются незначительно, а мода может существенно от них отклоняться. В симметричном случае c=0.5 все три средние характеристики совпадают.

В качестве полезного упражнения читателю предлагается вычислить математическое ожидание, медиану и моду этого распределения, как функции параметра c.

Зависимое распределение с равномерными компонентами

Зависимое распределение с равномерными компонентами

Довольно распространено заблуждение, что если случайные величины X и Y имеют равномерные распределения, например, на отрезке [0,1], то случайный вектор (X,Y) имеет равномерное распределение на единичном квадрате [0,1]2 (так что его компоненты X, Y независимы). Данная иллюстрация призвана развеять это заблуждение. Здесь приведен класс распределений случайного вектора (X,Y) на единичном квадрате с параметром k=1,2,…,10. При каждом k распределение (X,Y) равномерно на выделенной цветом фигуре, состоящей из k одинаковых квадратов меньшего размера, лежащих вдоль диагонали основного единичного квадрата. При k > 1 компоненты X и Y оказываются зависимыми; на иллюстрации приводится значение коэффициента корреляции. При k = 1 компоненты независимы, этот случай соответствует равномерному распределению на единичном квадрате. Отметим также, что при стремлении k к бесконечности распределение (X,Y) стремится к идеально коррелированному случаю X = Y (коэффициент корреляции при этом равен 1).

В качестве полезного упражнения читателю предлагается вычислить плотность распределения случайной величины X + Y при различных значениях k.

Детерминированный эквивалент распределения

Детерминированный эквивалент распределения

Применение методики ожидаемой полезности для сравнения проектов заключается в вычислении ожидаемой полезности дохода каждого проекта и последующем выборе проекта с максимальной ожидаемой полезностью. Формально эту процедуру можно описать следующим образом. Пусть U — функция полезности, то есть, возрастающая вогнутая вещественная функция, а доход проекта описывается случайной величиной X. Тогда ожидаемая полезность проекта вычисляется по формуле

  • u(X) = EU(X).

Для удобства восприятия ожидаемой полезности проектов вводится понятие детерминированного эквивалента d(X), который равен детерминированному доходу с той же полезностью, что и X: U(d(X)) = u(X), или другими словами,

  • d(X) = U-1(EU(X)),

где U-1 — функция, обратная к U.

В иллюстрации используется функция полезности

  • U(x) = (1 — exp( — a * x )) / (1 — exp( — a )),

зависящая от параметра a > 0, и показана зависимость детерминированного эквивалента случайной величины X с простым распределением Бернулли с параметром p от значений параметров p, a.

Верхней парой кнопок можно изменять значение вероятности p в пределах от 0 до 1, а нижней парой кнопок — значение параметра a в пределах от 0 до 4. Отметим, что параметр a является характеристикой неприятия риска. Обратите внимание на зависимость детерминированного эквивалента от параметра неприятия риска, а также на тот факт, что эта зависимость отсутствует при p = 0 и p = 1.

Иллюстрация диверсификации

Диверсификация в портфеле из двух инструментов.

В данном примере рассматриваются два инвестиционных инструмента X1, X2 с одинаковыми средними значениями, одинаковыми дисперсиями, равными 1, и коэффициентом корреляции r. Из этих инструментов составляется портфель

  • X = y X1 + (1 — y) X2.

На верхнем рисунке приведена зависимость дисперсии портфеля от веса первого инструмента y. На нижнем рисунке приведен график плотности распределения X в предположении, что совместное распределение (X1, X2) является нормальным.

Верхней парой кнопок можно изменять значение y, а нижней парой — значение коэффициента корреляции r. Обратите внимание на то, что минимальная дисперсия достигается при y = 1/2 (что является следствием симметрии инструментов), и что при r = -1 минимальная дисперсия обращается в 0: распределение портфеля получается вырожденным. Этот случай соответствует идеальному хеджированию. При r = 1 дисперсия не зависит от состава портфеля, и эффект диверсификации не достигается. Этот случай соответствует полной зависимости (идентичности) инструментов.

Выборка из двумерного нормального распределения

Выборка из двумерного нормального распределения с заданным коэффициентом корреляции.

Для воспроизведения новой выборки с тем же коэффициентом корреляции нажмиет кнопку «Получить». Для изменения коэффициента корреляции обновите страницу.