Глоссарий

В настоящем словарике приведены толкования терминов, встречающихся на страничках, которые Вы читаете. Словарь не претендует на полноту, а его статьи следует воспринимать не как определения соответствующих терминов, а лишь как их краткие характеристики.

С терминологией теории вероятностей можно познакомиться также по учебнику, разработанному в Омском университете.

А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Вероятность события. Степень правдоподобия события, нормированная мера на вероятностном пространстве. Принимает числовые значения в промежутке между 0 и 1. В примере с подбрасыванием игрального кубика вероятность выпадения каждой из граней равна 1/6. Прекрасное введение в теорию вероятностей представляет собой книга П.Уиттл. Вероятность. М.: «Наука», 1982.
Вогнутая функция. Вещественная функция f называется вогнутой (строго вогнутой), если функция (-f) является выпуклой (соответственно, строго выпуклой).
Выпуклая функция. Вещественная функция f называется выпуклой, если при произвольных x, y из области ее определения и произвольного числа a из отрезка (0,1) выполняется неравенство f (ax + (1 — a)y) <= a f(x) + (1 — a) f(y).Если справедливо строгое неравенство, то функция f называется строго выпуклой. Прекрасное изложение всех вопросов, связанных с выпуклостью, содержится в книге: Р.Т. Рокафеллар. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

Границы Фреше. Для многомерной функции распределенияF_XY…Z(x,y,…,z)с маргинальными функциями распределения F_X(x), F_Y(y), …, F_Z(z) имеет место неравенствоF_XY…Z(x,y,…,z) <= min{F_X(x), F_Y(y),…, F_Z(z)},называемое верхней границей Фреше. Для двумерного распределения справедлива также нижняя граница Фреше:F_XY(x,y) >= max{0,F_X(x)+F_Y(y)-1}.Подробнее.

Детерминированный эквивалент случайной величины X. В теории полезности — количество, имеющее ту же полезность, что и X. При заданной функции полезности U вычисляется по формулеd(X) = U^-1(EU(X)),где U^-1 — функция, обратная к U. Детерминированный эквивалент может выступать в качестве цены риска в операциях обмена.
Диверсификация. Распределение ресурсов (например, инвестиционного капитала) по нескольким направлениям (инвестиционным инструментам) с целью уменьшения рискованности получающегося портфеля. В теориях второго порядка рискованность измеряется в терминах математического ожидания и дисперсии портфеля. В более современных теориях измерение рискованности основано на мерах риска.
Дисперсия случайной величины — характеристика рассеяния ее значений относительно среднего значения. Часто рассеяние случайной величины характеризуют также стандартным отклонением. Подробнее.

Копула. Многомерная функция распределения на гиперкубе [0,1]ⁿ с равномерными маргинальными распределениями. По теореме Скляра всякое многомерное распределение можно представить в виде суперпозиции копулы и маргинальных распределений, так что копула вполне характеризует зависимость компонент.
Коэффициент корреляции случайных величин X, Y — характеристика их линейной зависимости. Вычисляется по формулеr = E[(X — EX)(Y — EY)] / (s(X) s(Y)),где s(X), s(Y) — стандартные отклонения X, Y, соответственно. Коэффициент корреляции информативен при нормальном совместном распределении X, Y, а при других типах распределений может ввести в заблуждение, и его следует использовать с осторожностью.

Логнормальное распределение. Часто используется для описания доходности финансовых инструментов, поскольку случайная величина с таким распределением принимает только положительные значения. Подробнее.

Математическое ожидание случайной величины — ее среднее значение, характеристика положения значений на вещественной оси. Например, среднее значение количества очков при подбрасывании игрального кубика равно 3 1/2. Подробнее.
Медиана случайной величины — одна из средних характеристик. Медиана симметричного распределения совпадает с математическим ожиданием (если последнее существует). Подробнее.
Мера риска. «Количество риска», заключенное в данном риске; функционал на пространстве рисков. Примерами мер риска могут служить ожидаемая полезность, значение под риском (VaR, Value-at-Risk), возмущенная вероятность. В классических задачах теории риска в качестве мер риска использовались также дисперсия и стандартное отклонение. Частным случаем меры риска является цена риска. Каждая мера риска задает свое понятие детерминированного эквивалента.
Метод Монте Карло. Общий метод решения задач, в которых получение аналитического решения затруднительно или невозможно. Заключается в представлении решения в виде вероятностного распределения или функционала от него, и получении приближенного результата методом воспроизведения случайного эксперимента с заданным распределением. Подробное описание метода и его применения можно найти в соответствующей лекции.
Мода случайной величины — одна из средних характеристик, наиболее вероятное значение случайной величины. Подробнее.

Независимые случайные величины. Случайные величины X, Y называются независимыми, если для их функций распределения справедливо равенствоF_XY(X <= x; Y <= y) = F_X(X <= x) F_Y(Y <= y).В противном случае случайные величины называются зависимыми.
Независимые события. Случайные события A, B называются независимыми, если для их вероятностей справедливо равенствоP(AB) = P(A) P(B).В противном случае события называются зависимыми.
Неопределенность. Отсутствие полной информации об интересующем объекте. Например, известно множество состояний X={x,y,z,…}, в которых может находиться объект, но неизвестно, в каком именно состоянии он находится (или окажется в будущем). В условиях вероятностной (статистической) неопределенности известно распределение вероятностей на множестве состояний X.
Неприятие риска. В теории полезности — количественная характеристика, отражающая степень «нелюбви» инвестора по отношению к рискованности проектов. Инвестор с большим неприятием риска склонен к более осторожному поведению на рынке; такого инвестора часто называют также консервативным. Если U есть функция полезности инвестора, то неприятие риска по Пратту вычисляется по формуле:— U»(x) / U'(x).При использовании показательной функции полезностиU(x) = (1 — exp( — a * x )) / (1 — exp( — a )),неприятие риска совпадает со значением параметра a.
Нормальное распределение. Одно из самых распространенных вероятностных распределений. Во многих приложениях теории риска предположение о нормальности распределений является слишком грубым, и его следует делать с осторожностью. Подробнее.

Ожидаемая (средняя) полезность. Обобщение понятия полезности с детерминированных благ (исходов, результатов) на случайные. Вычисляется, как математическое ожидание полезности соответствующей характеристики. Пусть U — функция полезности, X — случайная величина, описывающая, например, доход инвестиционного инструмента. Тогда ожидаемая полезность X вычисляется по формулеu(X) = EU(X).

Плотность распределения. Одна из характеристик непрерывного распределения, равная производной от функции распределения. Подробнее.
Показательное распределение. Непрерывное распределение на положительной полуоси. Часто используется в теории надежности для моделирования времени безотказной работы технических элементов. Иногда применяется в страховых моделях для моделирования продолжительности жизни. Подробнее.
Портфель. Результат распределения ресурсов (инвестиционного капитала) по нескольким направлениям (между несколькими инвестиционными инструментами). Для n направлений (инструментов), описываемых случайным вектором(X₁,…,X_n),портфель характеризуется долямиy=(y₁,…,y_n)ресурса (капитала), вложенными в соответствующие инструменты. Результат формирования портфеля описывается случайной величинойX=y₁X₁+…+y_nX_n,а теории выбора портфеля так или иначе сводятся к достижению в некотором смысле наилучшего портфеля за счет выбора долей y, удовлетворяющих условиюy₁+…+y_n=1.
Пространство элементарных исходов вероятностного эксперимента — множество X={x,y,z,…} всевозможных состояний объекта, в которых он может оказаться в результате эксперимента.

Равномерное распределение. Распределение случайной величины на отрезке вещественной оси [a,b], при котором вероятность ее попадания в подотрезок [c,d], лежащий в [a,b], пропорциональна длине [c,d]. В многомерном случае вероятность попадания случайного вектора в заданную фигуру пропорциональна n-мерному объему этой фигуры. Равномерное распределение иногда называют также геометрическим. Подробнее.
Распределение Бернулли. Распределение дискретной случайной величины, принимающей только два значения, как правило, 0 и 1. Подробнее.
Распределение вероятностей. В простейшем случае множество состояний X={x,y,z,…}, в которых может находиться объект, конечно (состоит из n элементов). Распределением вероятностей при этом называется совокупность n неотрицательных чисел (вероятностей) p_x, p_y, p_z,…, в сумме дающих 1.
Распределение Коши. Непрерывное вероятностное распределение с тяжелыми хвостами. Используется при моделировании ситуаций, в которых возможны существенные отклонения от «средних» значений. Подробнее.
Риск. 1. Состояние вероятностной неопределенности относительно некоторых событий в будущем. Более подробное обсуждение определения риска можно найти здесь
Риск 2. Математический объект — распределение абстрактного случайного элемента (в частности, случайной величины).

Случайная величина. (Измеримое) отображение пространства элементарных исходов данного вероятностного эксперимента в множество вещественных чисел. Вероятностная модель для экспериментов с неопределенным числовым исходом. Примером случайной величины может служить количество очков, выпавшее при подбрасывании игрального кубика. Эта случайная величина принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью 1/6 каждое. Часто используемые характеристики случайной величины: математическое ожидание и дисперсия.
Стандартное отклонение случайной величины — характеристика ее рассеяния, вычисляется, как квадратный корень из дисперсии. Подробнее.

Функция полезности. В теории полезности так называют функцию U, приписывающую количественную полезность благам, исходам эксперимента, результатам деятельности и т.п. Если последние сами имеют количественную природу, то функция полезности оказывается вещественной функцией. При этом она часто оказывается возрастающей вогнутой функцией. В теории риска интенсивно используется производное понятие ожидаемой полезности, применимое к случайным объектам.

Цена риска. Частный случай меры риска. Служит для определения премии, выплачиваемой при передаче риска от одного носителя другому. Примерами могут служить страхование, выпуск опционов и других производных инструментов.

Эффективная граница. В задаче векторной оптимизации: совокупность точек на критериальной плоскости, соответствующих эффективным решениям задачи, то есть, таким наборам аргументов, изменением которых нельзя улучшить значение какого-либо критерия, не ухудшив при этом значение другого критерия. В задаче Марковица представляет собой верхнюю часть параболы, ограничивающей допустимое множество задачи на плоскости дисперсия-доходность.