Основные параметры распределений

Типы распределений

Различают дискретные и непрерывные вероятностные распределения. Дискретное распределение характеризуется тем, что оно сосредоточено в конечном или счетном числе точек. Непрерывное распределение «размазано» по некоторому вещественному интервалу.

Характеристики распределений

Вероятностное распределение может быть описано несколькими эквивалентными способами. Здесь приведены лишь некоторые из них.

Функция распределения. Определена для любого вещественного распределения. Для случайной величины X ее функцией распределения называется
Плотность распределения. Определена для непрерывных распределений. Представляет собой производную от функции распределения.
Функция вероятности. Альтернативный способ описания дискретных распределений. Если распределение случайной величины X сосредоточено в конечном или счетном числе точек x₁, x₂,…, x_n,… то его можно описать вероятностями принятия случайной величиной X соответствующих значений:

Значение x₁ x₂ … x_n …

Вероятность p₁ p₂ … p_n …

Здесь p_k = f(x_k) = P(X = x_k), k=1,2,…,n,…

Параметры распределений

Опишем некоторые параметры распределения.

Математическое ожидание (среднее значение) EX случайной величины X. Представляет собой интеграл вида. Для непрерывной случайной величины может быть выражено также через плотность ее распределения, а для дискретной случайной величины — через функцию вероятности.
Дисперсия (рассеяние) случайной величины X имеет вид. В классических методах теории риска дисперсия часто использовалась в качестве меры риска, измерителя рискованности проектов.
Стандартное отклонение случайной величины X задается выражением.
Асимметрия распределения случайной величины X: характеризует различие «хвостов» распределения; асимметрия положительна при более тяжелом правом хвосте, и отрицательна при более тяжелом левом хвосте. Для симметричных распределений асимметрия равна 0.
Островершинность распределения случайной величины X: характеризует тяжесть «хвостов» распределения; положительные значения этого параметра соответствуют распределениям с более тяжелыми хвостами, чем у нормального распределения.
Медианой a = med(X) распределения случайной величины X называется корень уравнения. Медиана является средней характеристикой распределения в том смысле, что X с равными вероятностями принимает значения, лежащие справа и слева от a. Преимуществом медианы перед математическим ожиданием является тот факт, что математическое ожидание может быть неопределенным, если задающий его интеграл (в дискретном случае — ряд) расходится, как, например, в случае распределения Коши. Недостатком медианы является ее возможная неоднозначность для дискретных распределений. Медиана симметричного распределения совпадает с его средним значением (если последнее существует).
Модой распределения называется наиболее вероятное значение случайной величины: в непрерывном случае — точка максимума плотности распределения, в дискретном случае — точка максимума функции вероятности. Мода распределения может быть неоднозначной, и использование этого параметра в теории риска ограничено.

В разделе иллюстраций можно познакомиться с визуальным представлением средних значений треугольного распределения.

Другие характеристики распределений

Вероятностное распределение может быть описано и другими характеристиками. Среди них:

Характеристическая функция. Определена для произвольных распределений. Здесь i — мнимая единица. Для непрерывного распределения характеристическую функцию можно также выразить через плотность распределения: а для дискретного распределения — через функцию вероятности

Непрерывные распределения

В справочнике представлены следующие непрерывные распределения:

Равномерное распределение

Описание

Говорят, что случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если она непрерывна, принимает значения только на отрезке [a,b], а плотность ее распределения постоянна на отрезке [a,b], и равна 0 вне этого отрезка. На следующем рисунке показаны графики плотности (привязан к левой вертикальной оси ординат) и функции (привязан к правой оси ординат) равномерного распределения на отрезке [0,2].

Характеристики

В следующей таблице приведены формулы для вычисления характеристик равномерного распределения. <tdalign=»right»>Островершинность

Плотность распределения
Функция распределения
Математическое ожидание	(a + b) / 2
Стандартное отклонение	(b — a) / 2
Дисперсия	(b — a)² / 12
Асимметрия	0
-6/5

Моделирование

Моделирование значений случайной величины U с равномерным распределением на отрезке [0,1] доступно в большинстве современных систем программирования. Например, в языке VBA эту роль выполняет функция Rnd(), а в языках Паскаль и Дельфи — функция random.

Нормальное распределение

Описание

Нормальным называется вещественное непрерывное распределение с плотностью распределения где μ и σ — параметры распределения. Стандартным называется нормальное распределение с параметрами μ = 0 и σ = 1.

На следующем рисунке показаны графики плотности распределения (привязан к левой оси ординат) и функции распределения (привязан к правой оси ординат) с параметрами μ = 0, σ = 1.

Характеристики

В следующей таблице приведены формулы для вычисления характеристик нормального распределения.

Плотность распределения
Функция распределения*
Математическое ожидание	μ
Стандартное отклонение	σ
Дисперсия	σ²
Асимметрия	0
Островершинность	0
Медиана	μ
Мода	μ
Характеристическая функция	φ(z) = exp( izμ — z²σ²/2 )

* Функция нормального распределения через элементарные функции не выражается. Таблицу значений функции стандартного нормального распределения можно найти здесь.

Моделирование

Простейший метод воспроизведения значений случайной величины с заданным нормальным распределением для использования в методах Монте Карло состоит из следующих шагов:

Получить 12 независимых значений U₁, …, U₁₂ случайной величины с равномерным распределением на отрезке [0,1].
Вычислить N = (U₁ + … + U₁₂ — 6). Величина N хорошо приближает величину со стандартным нормальным распределением (с параметрами μ = 0, σ = 1). Преобразованная величина σN + μ дает желаемый результат.

Моделирование равномерного распределения на отрезке [0,1] описано здесь.

Логнормальное распределение

Описание

Говорят, что случайная величина X имеет логнормальное распределение с параметрами μ, σ, если X = exp(Y), где Y имеет нормальное распределение с параметрами μ, σ. Случайная величина с логнормальным распределением является непрерывной, и принимает только положительные значения. Графики плотности (привязан к левой вертикальной оси ординат) и функции (привязан к правой оси ординат) логнормального распределения с параметрами μ = 0, σ = 0.7 приведен на следующем рисунке.

Характеристики

В следующей таблице приведены формулы для вычисления характеристик логнормального распределения.

Плотность распределения
Функция распределения*
Математическое ожидание
Стандартное отклонение
Дисперсия
Асимметрия
Мода

* Функция логнормального распределения F через элементарные функции не выражается. Для приближенного вычисления функции этого распределения с параметрами μ, σ можно воспользоваться формулой F(x) = Φ_μ,σ(ln x), где Φ_μ,σ — функция нормального распределения с параметрами μ, σ, способ вычисления которой описан здесь.

Моделирование

Моделирование значений случайной величины с логнормальным распределением (с параметрами μ, σ) проводится по формуле X = exp(Y), где Y имеет нормальное распределение с теми же параметрами. Моделирование нормальных величин описано здесь.

Показательное распределение

Описание

Говорят, что случайная величина X имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром λ > 0, если она непрерывна, принимает только положительные значения, и имеет плотность распределения f(x) = λe^-λx при 0 < x < ∞. На следующем рисунке показаны графики плотности (привязан к левой вертикальной оси ординат) и функции (привязан к правой оси ординат) показательного распределения с параметром λ = 1.

Характеристики

В следующей таблице приведены формулы для вычисления характеристик показательного распределения.

Плотность распределения	f(x) = λe^-λx
Функция распределения	F(x) = 1 — e^-λx
Математическое ожидание	1 / λ
Стандартное отклонение	1 / λ
Дисперсия	1 / λ²
Асимметрия	2
Островершинность	6
Медиана	ln(2) / λ
Мода	0

Моделирование

Моделирование значений случайной величины с показательным распределением (с параметром λ) проводится по формуле -(ln U) / λ, где U имеет равномерное распределение на отрезке [0,1]. Моделирование равномерных случайных величин описано здесь.

Гамма — распределение

Описание

Говорят, что случайная величина X имеет гамма распределение с параметрами α > 0, β > 0, если она непрерывна, принимает только положительные значения, и имеет плотность распределения . На следующем рисунке показаны графики плотности (привязан к левой вертикальной оси ординат) и функции (привязан к правой оси ординат) гамма распределения с параметрами α = 2, β = 2.

Характеристики

В следующей таблице приведены формулы для вычисления характеристик гамма распределения.

Плотность распределения
Функция распределения*
Математическое ожидание	αβ
Стандартное отклонение
Дисперсия	αβ²
Асимметрия

* Функция гамма распределения через элементарные функции не выражается.

Моделирование

Моделирование значений случайной величины с гамма распределением (с параметрами α, β) при целых значениях α > 0 проводится по формуле , где — независимые реализации показательных случайных величин с параметром 1/β. Моделирование показательного распределения описано здесь.

Распределение Коши

Описание

Говорят, что случайная величина X имеет распределение Коши, если она непрерывна, и плотность ее распределения имеет вид . Отличительной особенностью этого распределения являются очень тяжелые хвосты; в частности, не существует ни один из моментов этого распределения, даже математическое ожидание. Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента. На следующем рисунке приведены графики плотности (привязан к левой вертикальной оси ординат) и функции (привязан к правой оси ординат) распределения Коши.

Характеристики

В следующей таблице приведены формулы для вычисления характеристик распределения Коши.

Плотность распределения
Функция распределения
Математическое ожидание	Не существует
Стандартное отклонение	Не существует
Дисперсия	Не существует
Асимметрии	Не существует
Островершинность	Не существует
Медиана	0
Мода	0

Моделирование

Для воспроизведения значений случайной величины X с распределением Коши можно использовать соотношение X=Y/Z, где Y,Z — независимые стандартные нормальные случайные величины, моделирование которых описано здесь.

Распределение Стьюдента

Описание

Распределением Стьюдента с n степенями свободы называется распределение случайной величины

t = ξ₀ / ((ξ₁² + … + ξ_n²)/n)^1/2,

(1)

где ξ₀, ξ₁, … ξ_n — независимые стандартные нормальные случайные величины. Это распределение непрерывно, его плотность и значения параметров приведены ниже в таблице. Частный случай, соответствующий n=1, называется распределением Коши. На следующем рисунке показаны графики плотности распределения (привязан к левой оси ординат) и функции распределения (привязан к правой оси ординат) Стьюдента с тремя степенями свободы.

Характеристики

В следующей таблице приведены формулы для вычисления характеристик распределения Стьюдента.

Плотность распределения
Математическое ожидание	0, (n > 1)
Стандартное отклонение	(n/(n-2))^1/2, (n > 2)
Дисперсия	n/(n-2), (n > 2)
Асимметрия	0, (n > 3)
Островершинность	6 / (n — 4), (n > 4)
Медиана	0
Мода	0

Таблица значений функции распределения Стьюдента приведена здесь.

Моделирование

Воспроизведение значений случайной величины с распределением Стьюдента с n степенями свободы производится по формуле (1). Моделирование значений стандартных нормальных случайных величин для формулы (1) описано здесь.

Дискретные распределения

В справочнике представлены следующие дискретные распределения:

Вырожденное распределение

Описание

Говорят, что случайная величина X имеет вырожденное распределение, если она принимает единственное значение с вероятностью 1. Обозначим такую случайную величину W_a, где a — значение, принимаемое этой случайной величиной, так что P ( W_a = a ) = 1. На следующем рисунке приведены графики функции вероятности (привязан к левой вертикальной оси ординат) и функции распределения (привязан к правой оси ординат) для W_a при a = 1.

Характеристики

В следующей таблице приведены формулы для вычисления характеристик вырожденного распределения W_a.

Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание	a
Стандартное отклонение	0
Дисперсия	0
Асимметрия	Не существует
Островершинность	Не существует
Медиана	a
Мода	a

Распределение Бернулли

Описание

Говорят, что случайная величина X имеет распределение Бернулли с параметрами a,b,p, где a < b и 0 < p < 1, если она принимает только значения a и b, причем

P(X = a) = 1 — p, P(X = b) = p.

Обозначим такую случайную величину B_a,b,p. Стандартную величину Бернулли с параметрами a = 0, b = 1 будем обозначать B_p. На следующем рисунке приведены графики функции вероятности (привязан к левой вертикальной оси ординат) и функции распределения (привязан к правой оси ординат) для B_0,2,0.7.

Характеристики

В следующей таблице приведены формулы для вычисления характеристик распределения Бернулли B_a,b,p.

Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание	a(1-p) + bp
Дисперсия	p(1-p)(b-a)²
Асимметрия	(1-2p) / [p(1-p)]^1/2
Островершинность	— 6 + 1 / p(1-p)
Медиана	Не имеет смысла
Мода	Упражнение для читателя: вычислить моду распределения Бернулли

Моделирование

Для воспроизведения случайной величины B_a,b,p можно применить следующий метод.

Получить значение случайной величины U с равномерным распределением на отрезке [0,1].
Если U < p ,то положить B_a,b,p = b, в противном случае положить B_a,b,p = a.

Моделирование равномерного распределения на отрезке [0,1] описано здесь.

Биномиальное распределение

Описание

Говорят, что случайная величина X имеет биномиальное распределение с параметрами n,p, где n = 1, 2, … и 0 < p < 1, если она имеет вид где B_p⁽ⁱ⁾, i=1,2,…,n — независимые стандартные бернуллиевские величины с одним и тем же параметром p. На следующем рисунке приведены графики функции вероятности (привязан к левой вертикальной оси ординат) и функции распределения (привязан к правой оси ординат) для B_{10, 0.3}

Характеристики

В следующей таблице приведены формулы для вычисления характеристик биномиального распределения B_n,p

Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание	np
Дисперсия	np(1-p)

Моделирование

Моделирование значений случайной величины B_n,p производится с использованием определения (1), в котором стандартные бернуллиевские величины получаются методом, описанным здесь.

Распределение Пуассона

Описание

Говорят, что случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром a если ее распределение дискретно, множество значений состоит из неотрицательных целых чисел, а функция вероятности имеет вид На следующем рисунке приведены графики функции вероятности (привязан к левой вертикальной оси ординат) и функции распределения (привязан к правой оси ординат) Пуассона с параметром a = 3.

Характеристики

В следующей таблице приведены формулы для вычисления характеристик распределения Пуассона с параметром a.

Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание	a
Дисперсия	a

Моделирование

Моделирование значений пуассоновской случайной величины с параметром a основано на предельной теореме, согласно которой распределение биномиальной случайной величины B_n,p при больших n и малых p хорошо аппроксимирует распределение Пуассона с параметром a = np. Поэтому достаточно выбрать большое значение n, вычислить p = a / n, и моделировать B_n,p.

Таблицы распределений

В справочнике представлены следующие таблицы значений функции распределения:

Значение	x₁	x₂	…	x_n	…
Вероятность	p₁	p₂	…	p_n	…